Карл Вейерштрасс

Карл Вейерштрасс (1815–1897) — немецкий математик, которого называют «отцом современного анализа», учитель Софьи Ковалевской и почётный член Петербургской академии наук.

Детство и учёба Карла Вейерштрасса

Родился Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс 31 октября 1815 года в Остенфельде — это предместье Эннигерло, тогда Королевство Ганновер. Отец служил секретарём бургомистра.

Гимназию в Падерборне он окончил в 1834 году, причём с отличием. Дальше вмешался отец: сын должен стать юристом. Карл послушно поступил на юридический факультет Боннского университета. И четыре года — целых четыре! — занимался там чем угодно, только не правом. В основном математикой.

Кончилось всё предсказуемо. Университет он бросил, так и не получив юридического диплома, и перешёл в университет Мюнстера. Там из несостоявшегося правоведа начали готовить учителя.

Вейерштрасс — школьный учитель

В 1840 году Вейерштрасс уже работал в школе. Порядок был такой: чтобы подтвердить учительское звание, нужно ежегодно сдавать письменное сочинение. Он написал экзаменационную работу по теории эллиптических функций — и в ней, как потом выяснилось, уже проглядывали его будущие открытия.

Через год появилась новая работа. В ней Вейерштрасс показал: если последовательность аналитических функций сходится равномерно внутри области, то и предел будет аналитической функцией. Ключевое слово здесь — «равномерно». Само понятие равномерной сходимости и строгая теория сходимости потом станут одним из главных его вкладов в основания анализа.

С 1842 года — провинциальная католическая прогимназия. Четырнадцать лет. И вёл он там не одну математику. Физику тоже. Ботанику, географию, историю, немецкий язык. Чистописание! Даже гимнастику. Наукой — урывками, в редкое свободное время, чаще всего ночами.

Как Вейерштрасс попал в Берлинский университет

Перелом случился в 1854 году. Скромный учитель публикует статью по абелевым функциям — и Кёнигсбергский университет тут же присуждает ему степень доктора honoris causa, то есть почётного доктора без защиты диссертации. Дирихле прислал восторженный отзыв. Благодаря ему Вейерштрасс получил звание старшего учителя и годичный отпуск, о котором давно просил.

Отпуск он, разумеется, не пролежал на диване. Готовил ещё одну сильную статью — она вышла в 1856 году. И тут за него взялись Александр фон Гумбольдт и Куммер. Сначала место профессора в Королевском торговом институте в Берлине. Через пару месяцев — Берлинский университет, экстраординарный профессор. Тогда же его избрали в Берлинскую академию наук.

Берлинскому университету он отдал сорок лет жизни. В 1864 году стал ординарным профессором, в 1873-м его избрали ректором.

Лекции Вейерштрасса и его ученики

С конца 1850-х слава Вейерштрасса быстро росла. Почему? Прежде всего из-за лекций. Что он читал? Введение в теорию аналитических функций — вместе с теорией действительных чисел. Эллиптические функции и их приложения к геометрии и механике. Абелевы интегралы и функции. Вариационное исчисление. Слушать его приезжали издалека.

Здоровье, правда, подводило — сказывалось вечное переутомление молодых лет. В 1861 году прямо во время выступления у него начался сильный приступ головокружения, лекцию пришлось прервать. После этого стоя он больше не читал никогда. Сидел, а на доске за него писал кто-нибудь из лучших студентов.

Ученики — отдельный разговор. Георг Кантор, для начала. Лео Кёнигсбергер и Вильгельм Киллинг. Магнус Гёста Миттаг-Леффлер, Карл Рунге. Фердинанд Георг Фробениус. Потом Иммануэль Лазарус Фукс, Карл Герман Амандус Шварц, Артур Мориц Шёнфлис, Георг Хеттнер. Из русских — математик Дмитрий Селиванов. Ну и, конечно, Софья Ковалевская.

Собрание его трудов начало выходить ещё при жизни, а всего вышло семь томов — последний только в 1927 году.

Что открыл Вейерштрасс: строгий анализ

Чтобы понять, чем он так важен, надо представить себе математику до него. Оснований анализа, по сути, не было. Коши первым ввёл стандарты строгости, но и он многое подразумевал молча. Теории вещественных чисел не существовало — прекрасная статья Больцано 1817 года прошла незамеченной. Непрерывностью пользовались без определения. Полной теории сходимости не было. Отсюда — ошибки и расплывчатые формулировки теорем.

Вейерштрасс этот фундамент достроил. Он опирался на построенную им теорию действительных чисел и на так называемый ε-δ-язык. Функция непрерывна в точке, если для любого, сколь угодно малого ε найдётся δ такое, что при отклонении аргумента меньше δ значение функции отклоняется меньше чем на ε. Звучит сухо? Возможно. Зато именно так — вместе с его определениями предела, сходимости ряда и равномерной сходимости — это и сегодня пишут в учебниках без изменений.

Ещё он систематически пользовался верхней и нижней гранью и предельной точкой множеств. Строил контрпримеры — «аномальные» функции. Самая известная — всюду непрерывная, но нигде не дифференцируемая. Интуиция тут пасует, а логика работает. Пуанкаре заметил о нём, что Вейерштрасс оставляет интуиции лишь ту часть, которую не может у неё отнять.

Результатов — на целую полку. Любую непрерывную функцию, доказал он, можно представить равномерно сходящимся рядом многочленов. Эллиптические и абелевы функции — продвинул. Целые функции и функции нескольких комплексных переменных — заложил основы. Для делимости степенных рядов создал теорию. Вариационное исчисление переделал: открыл условия сильного экстремума и достаточные условия экстремума. Что ещё? Минимальные поверхности в геометрии. Элементарные делители в линейной алгебре. А в 1872 году доказал: поле комплексных чисел — единственное коммутативное расширение поля действительных чисел без делителей нуля.

Вейерштрасс и Софья Ковалевская

В 1870 году в Берлин приехала Софья Ковалевская. Двадцать лет, в планах — диссертация. Вейерштрасс помог ей выбрать тему и подход к решению. Потом консультировал, и регулярно, по трудным вопросам анализа. Хлопотал о научном признании. Нежное чувство к своей «Sonja», как пишут биографы, он пронёс через всю жизнь. Женат так и не был.

Взаимности в полной мере не вышло. Защитившись, Ковалевская уехала. На письма учителя отвечала редко и неохотно — разве что когда срочно нужна была консультация. Но когда пришла беда, он не отказал.

В 1883 году, после самоубийства мужа, Ковалевская осталась без средств с пятилетней дочерью и приехала в Берлин. Остановилась у Вейерштрасса. Тот пустил в ход весь свой авторитет и связи — и ценой огромных усилий выхлопотал ей место профессора в Стокгольмском университете.

В 1891 году Ковалевская неожиданно умерла. Потрясённый Вейерштрасс послал цветы на её могилу и сжёг все её письма к нему. Его письма к ней, наоборот, уцелели и в начале XX века были опубликованы.

Последние годы жизни Карла Вейерштрасса

К этому времени он давно был фигурой европейского масштаба. Судите сами. Баварская академия наук — член с 1861 года. Парижская — член-корреспондент с 1868-го. Лондонское королевское общество — с 1881-го. А Петербургская академия избирала его дважды: иностранным членом-корреспондентом в 1864 году и почётным членом в 1895-м. Семидесятилетие в 1885 году отмечали торжественно, по всей Европе.

А здоровье уходило. В 1889 году Вейерштрасс тяжело заболел. После смерти Ковалевской ему стало заметно хуже: вставал он редко и в основном редактировал сборник собственных трудов.

Умер Карл Вейерштрасс в Берлине 19 февраля 1897 года. Болел долго, а причиной смерти стали осложнения после гриппа. Восемьдесят один год.

Память о Карле Вейерштрассе

Кратер на Луне носит имя Вейерштрасса. Математический институт в Берлине — тоже. Но главная память, пожалуй, теоремы. Больцано — Вейерштрасса. О функции, непрерывной на компакте. Аппроксимационная. А ещё Сохоцкого — Вейерштрасса и Линдемана — Вейерштрасса.

А в России? Здесь о нём выходили отдельные книги. В 1985 году, к 170-летию, издательство «Наука» выпустило научную биографию «Карл Вейерштрасс: 1815—1897». Автор — Пелагея Кочина.

Карл Вейерштрасс: частые вопросы